不動産投資とモダンポートフォリオ理論～投資リスクの数理的コントロール～
㈱日本システム評価研究所　不動産鑑定士・司法書士・SE　山田　毅 2007.07.21

近年の不動産投資の理論的研究は、ファイナンス理論、金融工学といった角度からの数学的な精緻化が進み、現実の投資の実践シーンで普及、応用が進んでいる。加えてファンドやJREITの拡大は、不動産と金融技術の融合を飛躍的に進めており、米国で７０年代に株式大暴落、変動相場制移行後、金利や金融商品の高いボラテリティへのリスクヘッジからオプション取引などで培養されたファイナンス理論が、８０年代になって不動産投資の分野で伝統的不動産アナリストを凌駕したように、わが国においても不動産投資とファイナンス理論は、蜜月関係を構築しつつある。
モダンポートフォリオ理論（MPT)は、1952年、シカゴ大学の大学院生だったマーコビッツの博士論文「ポートフォリオセレクション：分散投資理論」で提唱された「平均・分散アプローチ」、「ポートフォリオの最適化理論」からスタートし、彼の業績を受けて、シャープが考案した資本資産価格理論（CAPM理論）、さらにロスのAPTアプローチなどを経て、1990年代にほぼ完成した。なおマーコビッツは、この業績が認められ１９９０年ノーベル経済学賞を受賞した。
MPT理論を学習すると、複数の投資不動産があるとき、合理的投資家が願ってやまない「リターンを最大化してリスクを最小化する投資不動産の組み合わせ」の解答を得ることができる。リスクやポートフォリオの概念自体は、１つの籠に卵を盛らないといった経験的理解として古くからあったが、マーコビッツの業績は、分散投資の効果を数学的に証明し、リスクとリターンを定量化してコンピュータプログラムで計算可能なものにしたことだろう。
つまりマーコビッツの理論を不動産投資に応用すると物件の期待収益率とリスク（標準偏差）と投資不動産間の収益変動の連動性からみた共分散などの統計量を使ってポートフォリオ効果を最大化する最適解を求めることが可能になる。
今回のコラムは、マーコビッツの平均・分散アプローチやポートフォリオの最適化理論を不動産投資に関連付け、複数の不動産を組み合わせることにより、リターンを下げずにリスクを低下させるポートフォリオ効果を有効フロンティアなどにより紹介する。

１、不動産投資のリスクとは

「リスク」という用語は、不動産投資で日常的に登場し、頻繁に使われているが、その大半は、誤解されているようだ。リスクの定義を正確に理解してないと、ファイナンス理論・金融工学は解らない。例えば、「建物は、経年で老朽化するのでリスクが高い。」とか「国内の不動産は、少子高齢化でリスクが高い。」といった具合に日常的に使われる。つまり「リスク＝危険性が高い」といった捉え方をされているが、ファイナンス理論では、危険性が高くても測定ができ、予め期待したものと現実の結果が一致するものはリスクといわず、リスクとは、期待収益と現実に起きた結果の振幅幅やバラツキのことを言う。これを定量的に表現すると標準偏差や分散になる。
例えば、投資家が運用している賃貸マンションA,BのNOI（純収益）利回りの5年間の変動が下表であったとする。

A,Bマンションの5年間の運用成績は、平均値で両方とも５．２％だが、Aマンションは、Bマンションに比べNOI変動のバラッキが大きい分、分散、標準偏差ともに大きく、リスクが高いことになる。このようにリスクを統計量で定量化することで後述するが、リスクが数理的にコントロール可能になるわけである。
A,Bマンションの例は、過去5年間のヒストリカルデータから期待収益率を求めたが、過去のトレンドと将来の動向は、遮断されていると捉え、ヒストリカルデータを時間軸で重みを変えて指数加重したり、フォワードルッキングで予測するシナリオアプローチ方式や年金が採用しているビルディングブロック方式で期待収益率を予測する手法がある。
このようにリターンを平均値、リスクを標準偏差として投資を分析する手法が「平均・分散アプローチ」である。MPT理論が前提としているリスク回避的投資家の視点からリターンが同じならリスク（標準偏差）が低いほうがよい、という結論に導かれてBマンションが選択されることになる。

金融工学では、リスクを２つに分ける。つまりリスクには、

がある。個別不動産リスクであるアンシステマティックリスクは、複数の投資用不動産を保有するポートフォリオ効果でリスクが分散される。例えば、不動産を複数所有するファンド・リートは、不動産を単体で投資する個別投資に比べ、リターンとリスクが最適化されるので地震被害や耐震偽造のマンションにリストアップされるなどの不動産の個別リスクが低下するといわれている。
MPT理論のなかでマーコビッツのポートフォリオ理論は、アンシステマティックリスクを除去しようとすにるものであるが、個別の銘柄間の相関を計算しなければならず、当時のコンピューターの能力では、計算負荷が大きく膨大な処理時間を要した。マーコビッツが勤務していた米空軍の戦略シンクタンクのランド研究所に在籍していたシャープは、ベータ（β＝当銘柄と市場のリターンの共分散÷市場のリターンの分散）をシステマティックリスクの指標とし、個別銘柄の市場ポートフォリオに対する感応度でリスクを計測できるように計算モデルを簡略化した。そしてローゼンバーグは、これらの理論を実用化するソフトウエアを開発し、金融の最前線で使われることになる。またβを使った資産価格決定モデル（CAPM理論）をDCF法の割引率の査定に実用すべく研究が進んでいる。

リスクをアップサイドリスク（利得がある不確実性）と損失となるリスク（ダウンサイドリスク）に分けることもあるが、この捉え方は、現実の投資家のリスク管理感覚に近い。例えば、投資家が考える最小の要求収益率に達しないリスクをショートフォールリスクといい、６％の投資目標を掲げていた投資家が最終的に３％の収益しか得られなかった場合などを指し、ポートフォリオの期待収益率と標準偏差からショートフォール確率を求めることができる。

２、２資産の組み合わせによるリスク・リターンのコントロール

それでは今回のコラムの主題であるポートフォリオによるアンシステマティックリスクのコントロール手法を紹介していく。例えば店舗ビルA,Bの5年間のNOI（純収益）の変動を示したものが下表である。NOIが乱高下しており、両ビルともにリスク（標準偏差）が高いことがわかる。推移を見てみると2年目でBビルが平均値より少ないNOIしか稼げないときにAビルは平均値を上回るNOIを上げており、4年目ではその逆になっている。つまりA,Bビルは連動度合いである相関が低い。
一方A,Bを組み合わせてポートフォリオにした「A+B合成」は、A,BのNOI変動の山と谷が均されて、乱高下していたものが緩やかな変動となり、標準偏差は、A、Bビルを平均した数値より大幅に小さくなっている。
このように組み合わせる不動産間のNOI変動の連動度合いである相関が低いと、リターンを構成比率で加重平均した数値を維持しながらリスクを加重平均値より低めることができる。

以上からポートフォリオによるリスクコントロールに重要な役割を果たすのが、資産間の連動性の度合いを示す相関係数であることが解る。相関係数は＋１～－１までの範囲にあり、１に近いほど、２資産間の連動度合いが高く、－１に近づけば逆の連動度合いとなり、ゼロに近づけば２つの資産は、まったく連動しない。

相関係数が果たす役割がわかったところで次に 相関係数と資産間の組み入れ比率をパラメーターにしてリターンとリスクの変動をシミュレーションしてこの関係の理解を深める。不動産よりも証券を例題として考えるほうが、現実的で、理解しやすいので下表のような銘柄A,B証券について考察する。A、Bの組み入れ比率を１０％単位で変化させ、また相関係数を０．５単位で変化させたマトリックス表で期待収益率、リスク（標準偏差）の変動をみる。

上表のようにA,B銘柄の期待収益率は、７％～１０％の範囲にあるので、下表のように期待収益率は、７<=期待収益率<=10
のレンジで、A,Bの組み入れ比率の加重平均で変動し、リスク（標準偏差）は、相関係数＝１の完全相関のときのみ加重平均で変動する以外は加重平均値以上に低減し、相関係数がー１に近いほどより大きな低減となる。
また相関係数＝－１の負の相関のときはA,Bの組み入れ比率が４０：６０のときリスクがお互いに打ち消され、リスク＝０となる。このときのリターンはゼロでなく８．２％となる。
以上から期待収益を維持しながらA,B不動産の組み合わせ比率により、リスクを低減させたり、同じリスクでありながらより高いリターンの組み合わせをポートフォリオで作れることがわかる。

３、複数資産のリスクとリターンの最適化理論（有効フロンティア）

今までは２資産間の組み合わせでリスクとリターンを見てきた。次に複数の資産間でのポートフォリオ効果を見てみる。
株、債券、不動産というように複数アセット間で、また株ならどの銘柄で、不動産はどのような用途やタイプ、地域でというように部門別の無数の組み合わせがあるわけだが、ポートフォリオ効果を最大にする組み合わせ比率にヒントを与えるのが有効フロンティアである。具体事例により有効フロンティアを紹介する。

例えば５銘柄からなる証券で同じリターンならリスクを最小に、同じリスクならリターンを最大化する組み合わせを探してみよう。
下表は、A～E５銘柄の２００６年１月～１２月間の月次収益率である。このデータを用いてリスク・リターンを最適化するポートフォリオを求めるため有効フロンティアを作成する。

まず各銘柄間の相関係数、共分散を求め、下表に整理する。

次に有効フロンティアを作成するための表を作る。銘柄A～Eの期待リターンの範囲は、「銘柄ごとの月次収益率表」から０．４８～１４．０４％なので、この範囲で各リターンに対してリスクを最小とする５銘柄の組み合わせ比率（ポートフォリオ）を求めて下表に整理した。

上表をグラフにすると、期待リターンに対してリスク最小となるポートフォリオを組んだときのリスク・リターン関係を示す有効フロンティアの曲線が作成できる。

グラフを見ると縦軸：期待リターンが大きくなるにつれ横軸：リスクも大きくなっている。つまりリスクに比例して高いリターンが取れ、反面、高いリターンを取るには高いリスクを取らなければならないことが解る。
注目すべきは、期待リターンが２％のときにリスクは最小で、リターンをここから下げてもリスクが増大することだ。最適なポートフォリオを実現する組み合わせは、目標とする期待リターンを最小のリスク（標準偏差）で達成する組み合わせであり、その組み合わせは下グラフの線分AC部分上にある。そして線分ACを指して有効フロンティアと呼ぶ。つまりリスク最小を好む投資家は、A点を選択し、ハイリスク・ハイリターンならC点となる。投資家は自己のリスク許容度に応じた期待リターンや、期待リターンに応じたリスクを有効フロンティアから決定する。

３、不動産ポートフォリオの課題

有効フロンティアは、アセットアロケーションに活用され、国内外債券、株式、転換社債、JREIT、不動産実物投資の効率的組み合わせを実現できる。特に不動産の組み入れは、有効フロンティア曲線を外側に拡大することに寄与するので海外の年金基金がオルタナティブ投資を積極的に行う理由となっている。
次に不動産相互間での最適組み合わせを考えるとポートフォリオという視点は、経験的、抽象的な投資家のアートの領域から数理的にコントロールするというサイエンスの領域になってきたのは、日本では９０年代後半以降からである。
不動産は、証券市場のように価格に影響を与える情報が瞬時に価格に織り込まれるような効率的で公開された市場がなく、ローカルに分断され、情報の非対称性のなかで相対で取引されてきた。このような不動産市場の特性から不動産投資においてもポートフォリオによる分散投資を前提とするより、単体取引を中心としてプライシングされた。そして個別投資を前提とした評価では、当該不動産の個別リスク（株式でいう銘柄固有リスク）がリスクプレミアムとして割引率に移転された。
一方、近年になって登場してきた投資不動産を複数所有するファンド・リートは、不動産を単体で投資する個別投資に比べ、リターンとリスクがある程度まで最適化されているので、ポートフォリオ効果が働き、不動産の個別リスクが低下している。ファンド・リートの購入時の価格は、当該不動産の将来のキャッシュフローを割引率で現在価値に置き換えたものだから、割引率のリスクプレミアムが低下する分、購入価格が上昇する。分散投資効果による投資用不動産価格の変質が起きはじめている。
＞＞＞リート・ファンドバブル論争の本質

現段階で不動産ポートフォリオの分散効果については課題や疑問がいくつか指摘されている。その中に不動産投資インデックスの平滑化問題がある。MPT理論を基準として不動産投資を行うには、期待リターン（平均）とリスク（標準偏差）のデータに加え、ポートフォリオを組むための投資不動産間の収益率の変動データで相関係数を測定しなければならない。このとき必要となる基礎情報が投資インデックスである。
不動産投資インデックスは、株価インデックスがマーケットでの実際取引価格に基づいて算定されるのに対し、市場取引データでなく、評価という加工が施されたものである。この理由は、不動産市場の特殊性で市場取引価格を採用できないためであるが、この点に関して「鑑定評価を用いた不動産収益率インデックスは、真のボラテリティを過小評価していると指摘されている。これを鑑定評価ベース・インデックスの平滑化問題という。
「鑑定評価ベース・インデックスを用いて効率的フロンティアを計算すると、不動産組み入れ比率が過大となる場合がある。」（「不動産金融工学」川口有一郎著）といった指摘である。

証券市場のように情報が効率化された市場では同じものが単位株レベルで数万、数十万存在するが、不動産は個別性が強く、同一の価値を持つ不動産は他に１つとしてないため、証券投資と同列でポートフォリオによる分散効果を論じるのには無理があるかもしれない。
しかしJREITは、有価証券化され、流動性が高く、情報も一定レベルまで公開されているので、有効フロンティアのような組み合わせを実現する可能性は高く、今後、JREITに牽引されて不動産投資全般でこの方面の研究や実践が進んでいくと期待されている。

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